Question

如图1，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC。CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI。

如图1，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC。CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI。（1）△ABC变化时，设∠BAC=2α 。若用α表示∠BIC和∠E，那么∠BIC=_______，∠E =_______；（2）若AB=1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长；（3）如图2，延长AI交EC延长线于F。当△ABC形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与△ABI相似？写出这些三角形，并选其中之一证明。

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Answer 1

解：（1）90°+α ； α （2）分类 i）∠BAC=90°，推出△ABC为等腰直角三角形 ∴AC=AB=1                  ii）∠ABC=90°，推出Rt△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=30° AC=2AB=2                  iii）∠ACB=90°，推出Rt△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=30°， AC= AB= （3）写出：△EIF，△ECB，△ACF    证明其中一个三角形与△AIB相似 （证明“略”）