Question

如图，已知 □ ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD。 （1）试说明D

如图，已知 □ ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD。 （1）试说明DE=BC；　　（2）试问AB与DG+FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由。

Answer 1

（1）证明：因为四边形是平行四边形，　　                  所以 ，AB∥DC　　                  所以∠BAE=∠DEA 　　                  因为AE平分∠BAD，　　                  所以∠BAE=∠DAE 　　                  所以∠DEA=∠DAE           　　所以AD=DE 　　                  所以DE=BC ； （2） ； 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，　　              所以AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC               所以∠ABC+∠C=180° 　　          把△DFC沿射线DA方向平移，平移距离为AD，则DC与AB重合，           记平移后的三角形为△ABH，        则∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC 　　因为∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°，所以F，B，H三点共线　　          所以BF+HB=BF+FC，从而FH=BC=AD=DF=AH           所以四边形AHFD为正方形    　所以∠ADF=90°，AH∥DF  　　把△ADG绕点A顺时针旋转90°，则AD与AH重合，        ∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90°      　所以∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°，所以I，H，B三点共线分　　         因为AE平分∠BAD，所以∠BAG=∠DAG 　　所以∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI　即∠HAG=∠IAB        　因为AH∥DF，所以∠HAG=∠DGA            所以∠BIA=∠DGA=∠BAI            所以AB=IB 　　           因为IB=IH+HB=DG+FC，          所以AB=DG+FC