Question

已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足 （如图（1）所示）。

已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足 （如图（1）所示）。 （1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图（2）所示），求线段PC的长；（2）在图（1）中，连接AP，当 ，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x， ，其中S △APQ 表示△APQ的面积，S △PBC 表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD<AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图（3）所示），求∠QPC的大小。

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Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°， ∴∠A=∠ABC=90°， 当AD=2时，AD=AB， ∴∠D=∠ABD=45°， ∴∠PQC=∠D=45°， ∴ ， ∴PQ=PC， ∴∠C=∠PQC=45°， ∴∠BPC=90°， ∴PC=BC·sin45°= ； （2）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F， ∵∠ABC=90°， ∴四边形EBFP是矩形， ∴PF=BE， 又∵∠BAD=90°， ∴PE∥AD， ∴Rt△BEP∽Rt△BAD， ∴ ， ∴ ， 设BE=4k，则PE=3k， ∴PF=BE=4k， ∵BQ=x，AQ=AB-BQ=2-x， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ； （3）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F ∵∠ABC=90° ∴四边形EBFP是矩形， ∴PF=BE，∠EPF=90°， 又∠A=90°， ∴PE∥AD， ∴Rt△BEP∽Rt△BAD， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴Rt△PCF∽Rt△PQE， ∴∠FPC=∠EPQ， ∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°， ∴∠FPC+∠QPF=90°， 即∠QPC=90°。