Question

已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2，a1=1．（1）设bn=an+1-2an，求证{bn}是等比数列（2）

已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2，a1=1．（1）设bn=an+1-2an，求证{bn}是等比数列（2）设Cn＝an2n，求证{Cn}是等差数列（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式．

Answer 1

（1）S_n+1=S_n+a_n+1=4a_n-1+2+a_n+1
∴4a_n+2=4a_n-1+2+a_n+1
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
即：

bn

bn?1

＝

an+1?2an

an?2an?1

＝2 (n≥2)且b₁=a₂-2a₁=3
∴{b_n}是等比数列
（2）{b_n}的通项b_n=b₁?q^n-1=3?2^n-1
∴Cn+1?Cn＝

an+1

2n+1

?

an

2n

＝

an+1?2an

2n+1

＝

bn

2n+1

＝

3

4

(n∈N*)
又C1＝

a1

2

＝

1

2

∴{C_n}为等差数列
（3）∵C_n=C₁+（n-1）?d
∴

an

2n

＝

1

2

+(n?1)?

3

4

∴a_n=（3n-1）?2^n-2（n∈N^*）
S_n+1=4?a_n+2=4?（3n-1）?2^n-2+2=（3n-1）?2ⁿ+2
∴S_n=（3n-4）2^n-1+2（n∈N^*）