Question

为什么可微推不出偏导数连续？可以几何意义解释吗？

Answer 1

可微只能推出在该点的偏导数存在，推不出连续，但是可偏导数连续可以推出可微。因为可微的点周围可能偏导数不存在，如下式，该函数在(0,0)处可微,偏导数都为0,但在该点空心邻域内偏导数不存在,更谈不上连续了.。

可微定义

设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)

其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx

当x= x0时，则记作dy∣x=x0.

可微条件

必要条件

若二元函数在某点可微分，则函数在该点必连续；

若函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

充分条件

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。