Question

已知函数f（x）=a x+k （a＞0，a≠1）的图象过（-1，1）点，其反函数f -1 （x）的图象过点（8，2）．1）

已知函数f（x）=a x+k （a＞0，a≠1）的图象过（-1，1）点，其反函数f -1 （x）的图象过点（8，2）．1）求a、k的值（12’）；2）若将y=f -1 （x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图像，写出y=g（x）的解析式；3）若函数F（x）=g（x 2 ）-f -1 （x），求F（x）的最小值及取最小值时的x的值．

Answer 1

1）∵函数f（x）=a x+k （a＞0，a≠1）的图象过（-1，1）点， ∴1=a k-1 …① 又∵函数f（x）=a x+k 其反函数f -1 （x）的图象过点（8，2）． 故函数f（x）=a x+k （a＞0，a≠1）的图象过（2，8）点， ∴8=a k+2 …① 由①②得 a=2，k=1 2）由1）得f（x）=2 x+1 ∴y=f -1 （x）=log 2 x-1 将y=f -1 （x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象， ∴y=g（x）=log 2 （x-2）-1+1 ∴g（x）=log 2 （x+2），（x＞-2）； 3）∵函数F（x）=g（x 2 ）-f -1 （x）， 又∵g（x）=log 2 （x+2），f -1 （x）=log 2 x-1 ∴g（x 2 ）=log 2 （x 2 +2）， ∴F（x）=g（x 2 ）-f -1 （x）=log 2 （x 2 +2）-log 2 x+1 ∴ F(x)=log2(x+ 2 x )+1，x＞0?x= 2 时，F(x ) min = 5 2 ．