Question

（2014?呼和浩特）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2

（2014?呼和浩特）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OC，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
又∵CM是⊙O的切线，
∴OC⊥CM，
∴∠ACM+∠ACO=90°，
∵CO=AO，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠ACM=∠ABC；
（2）解：∵BC=CD，
∴OC∥AD，
又∵OC⊥CE，
∴AD⊥CE，
∴△AEC是直角三角形，
∴△AEC的外接圆的直径是AC，
又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，
∴△ABC∽△CDE，
∴

AB

CD

=

BC

ED

，
⊙O的半径为3，
∴AB=6，
∴

6

CD

=

BC

2

，
∴BC²=12，
∴BC=2

3

，
∴AC=

36?12

=2

6

，
∴△AEC的外接圆的半径为

6

．