Question

已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上

已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵OA、OC的长是x²-5x+4=0的根，OA＜OC，
∴OA=1，OC=4，
∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴，
∴A（-1，0）C（0，-4），
∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=1，
∴由对称性可得B点坐标为（3，0），
∴A、B、C三点坐标分别是：A（-1，0），B（3，0），C（0，-4）；

（2）∵点C（0，-4）在抛物线y=ax²+bx+c图象上，
∴c=-4，
将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx-4，
得

a?b?4＝0 9a+3b?4＝0

，
解之得

a＝ 4 3 b＝? 8 3

，
∴所求抛物线解析式为：y＝

4

3

x2?

8

3

x?4；

（3）根据题意，BD=m，则AD=4-m，
在Rt△OBC中，BC=

OB2+OC2

=5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

＝

AD

AB

，
∴DE＝

AD?BC

AB

＝

5(4?m)

4

＝

20?5m

4

，
过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=

OC

BC

＝

4

5

，
∴