Question

设非负函数y=y（x）（x≥0）满足微分方程xy″-y′+2=0，当曲线y=y（x）过原点时，其与直线x=1及y=0围成平

设非负函数y=y（x）（x≥0）满足微分方程xy″-y′+2=0，当曲线y=y（x）过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积．

Answer 1

解答：解：
解微分方程xy″-y′+2=0，令y′=p（x），则y″=p′，
则有xp′-p+2=0，即
x

dp

dx

=p-2，解得
y′=p（x）=Cx+2，
则通解为：
y=C₂ x²+2x+C₁ 其中C₁ C₂为任意常数．
由于y=f（x）过原点，所以C₁=0，
又因y=f（x）与直x=1及y=0围成平面区域的面积为2，于是可得
2=

∫

1 0

（2x+C₂x²）dx=（x²+

C2

3

x³）

.

1 0

=1+

C2

3

从而C₂=3
于是，所求非负函数
      y=2x+3x²（x≥0），
建立坐标系，作出曲线如图所示
由y=2x+3x²可得，在第一象限曲线y=f（x），表示为x＝

1

3

(

1+3y)

?1)
于是D围绕y轴旋转所得旋转体的体积为V=5π-V₁，其中，
5π为x=0，x=1与y=5，y=0围成的封闭图形绕y轴旋转而成的圆柱体的体积；
V₁为曲线y=2x+3x²与y=0，y=5及x=0围成的封闭图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积；
则
V₁=

∫

5 0

πx²dy=

∫

5 0

π?

1

9

（

1+3y

-1）²dy
=

π

9

∫

5 0

（2+3y-2

1+3y

）dy
=

39

18

π
V=5π-

39

18

π=

17

6

π．