Question

证明不等式（数学分析 复旦 数列极限 习题6）

Answer 1

两边同平方，x+a-2√(xa)<=|x-a|
若x>a,则需证x+a-2√(xa)<=x-a
移项得2a<=2√(xa)，显然成立
若x<a,则需证x+a-2√(xa)<=a-x
移项得2x<=2√(xa)，显然成立
得证

Answer 2

设t=√x>=0, u=√a>=0
|√x-√a|=|t-u|=t-u (t>=u时）
或 |√x-√a|=u-t (t<u时)
√|x-a|=√|t^2-u^2|=√(t^2-u^2) ((t>=u时）
或√|x-a|=√(u^2-t^2) ((t<u时）
1)当t>=u时，t-u=√(t-u)^2=√(t^2-2tu+u^2)<=√(t^2-2u*u+u^2)=√(t^2-u^2), 即 |√x-√a|<=√|x-a|
2)t<u时, u-t=√(t^2-2tu+u^2)<√(t^2-2t*t+u^2)=√(u^2-t^2)
即 |√x-√a|<√|x-a|
综上， |√x-√a|<=√|x-a|