Question

求助一道高难度解析几何题，高手请进。

已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆的半长轴大小为A，短半轴大小为B，设F1，F2是该椭圆的左右焦点，点A，B是椭圆上的两个动点。
（1）试求三角形F2AB的周长的最大值，并指出最大值的条件。
（2）当三角形F2AB的周长取最大值时，求三角形F2AB面积的最大值.

Answer 1

（1）设直线y=kx+b，（k存在）sprt为根号
联立 y=kx+b
x^2/A^2+y^2/B^2=1 设两点（Xa,Ya),(Xb,Yb)
得|Xa-Xb|=2ABsprt(A^2*k^2+B^2-b^2)/(A^2*k^2+B^2)
Xa+Xb=-2A^2kb/(A^2*k^2+B^2)
设T为周长 C为半焦距 T=A-eXa+A-eXb+|Xa-Xb|*sprt(1+k^2)
=2A+2A*(B*sprt(A^2*k^2+B^2-b^2)*sprt(1+k^2)+kbC)/(A^2*k^2+B^2)
设B*sprt(A^2*k^2+B^2-b^2)*sprt(1+k^2)+kbC为f(b)
对f(b)求导讨论可得fmax=A^2*k^2+B^2 (k>0)当b=kc取等
Tmax=4A
（2）即为过F1的直线与F2围成的三角形 设x为倾斜角
S=C*|Ya-Yb| |Ya-Yb|=|k||Xa-Xb|=k/prt(1+k^2)*2AB^2/(A^2-C^2cosx^2）
求得B<=C Smax=AB B>C Smax=2B^2C/A
后面的最值比较常见我就不细说了解答中用了一些解析公式如果有不懂得再问我

Answer 2

因为|AF2| = 2a - |AF1|,|BF2| = 2a - |BF1|
所以|AF1|+|BF2|+|AB| = 4a-|AF1|-|BF1|+|AB|
|AB|-|AF1|-|BF1|<=0
而三点在一条直线时，|AB|-|AF1|-|BF1| = 0
则最大周长为4a

过A作AP垂直轴，过B作BQ垂直轴，
AP=Sinx*AF1,AB=Sinx*F1,
面积=1/2(AP*F1F2+BQ*F1F2)
=1/2 F1F2*(AP+BQ)
=1/2 F1F2*Sinx(AF1+BF1)
=1/2 F1F2*Sinx*AB
X=90度时，最大
即AB垂直X轴时候
面积最大=1/2 F1F2*AB