Question

高一数学~。。关于立体几何的。。牛人进来看看~。。要附带过程。。

若干个棱长为2.3.5的长方体依相同方向拼成棱长为90的正方体 则正方体的一条对角线贯穿的小长方体个数是？
A.64 B.66 C.68 D.70

拜托给详细的过程~。。思路。。

Answer 1

可以提供给你一个思路。我就不用标准的数学语言写了，因为这样也许更清晰一些。

1. 在纸上画一个正方体。
显然你需要(45 * 30 * 18)个小长方体来拼成这个正方体。这使得你的正方体看起来好像被划了很多格子。

2. 以正方体的一个顶点为原点建立坐标系。
现在，这些小长方体组成的“格子”，也就是长方体们的交界面，都有了确切的坐标数字。这些坐标分别是2的倍数、3的倍数和5的倍数。可以很轻易的发现，所有这些交界都是整数。

3. 现在从原点开始画一条正方体的对角线。
它从(0, 0, 0)延伸到(90, 90, 90)，或者我们称它为(a, a, a)。现在问：它什么时候可能会穿过长方体呢？自然在a是整数的时候有可能了。那么我们就从3个方向来数一下：
从棱长为2的方向看，它要经过45个面。(90 / 2)
从棱长为3的方向看，它要经过30个面。(90 / 3)
从棱长为5的方向看，它要经过18个面。(90 / 5)
于是我们的对角线将经过45 + 30 + 18 = 93个小长方体的面。

4. 当然，这并不是答案，因为对角线在某个点(a, a, a)有可能同时穿过2个面。比如(6, 6, 6)，(10, 10, 10)。实际上，对角线在这里穿过了某个长方体的一条棱。我们要减去这些多余的面。
2 * 3 = 6, 90 / 6 = 15: 对角线要经过15个这样的棱。
2 * 5 = 10, 90 / 10 = 9: 对角线要经过9个这样的棱。
3 * 5 = 15, 90 / 15 = 6: 对角线要经过6个这样的棱。
于是这个数字变成93 - 15 - 9 - 6 = 63。

5. 但现在仍然不是答案。显然，我们还要计算同时穿过3个面的情况，比如(30, 30, 30)。实际上，对角线在这里穿过了某个长方体的一个顶点。我们要把这个数字加回来。
2 * 3 * 5 = 30, 90 / 30 = 3: 对角线要经过3个这样的顶点。
于是这个数字最后变成63 + 3 = 66.

6. 显然找不到对角线同时穿过4个面以上的情况了，因为我们讨论的小长方体最多有三个面共用一个顶点。因此我们的计算到此可以结束了。

所以答案为66，选择B选项。整体的计算表达式为：
90 * (1/2 + 1/3 + 1/5 - 1/6 - 1/10 - 1/15 + 1/30) = 66