Question

怎样证明抽象函数函数具有对称性

Answer 1

1：比如已知f(x+y)=f(x)+f(y) x去任意实数
抽象函数对吧：
一般赋值: x=y=0;f(0)=2f(0);
f(0)=0;
再令x+y=0; f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x) 这就是奇函数啊.
2：
f(xy)=f(x)f(y)且f(x)>=0;
赋值f(0*y)=f(0)*f(y);
f(0)=0;
f(-1)=f(-1)f(1);
f(-1)=0或者f(1)=1;
f(1)=f(-1)f(-1)
若f(-1)=0, 则f(1)=0, 有f(y)=0 对于任意y成立,是偶函数的
若f(1)=1;
f(-1)=1或者-1(舍去）

Answer 2

　　1、 函数的中心对称
　　定义在R上的函数y=f（x）对其定义内的任意的x，如果都有f（x）=2b－f（2a－x）（或f（a＋x）=2b－f（a－x）），那么y=f（x）关于点（a，b）成中心对称；反之亦然。
　　事实上：对任意x∈R，当都有f（x）=2b－f（2a－x）时，有点（x，f（x））与点（2a-x，f（2a－x））存在关系：
　　，这说明点（a，b）是点（x，（f（x））与点（2a－x，f（2a－x））的中点，由x的任意性及中心对称的定义，可知函数 y =f（x）关于点（a，b）成中心对称；反之亦然。
　　2、函数的轴对称
　　定义在R上的函数y =f（x），如果满足：f（a＋x）=f（b－x），那么函数y =f（x）的图象关于直线成轴对称；反之亦然。
　　事实上：对任意x∈R，都有f（a＋x）=f（b－x）时，有点（a＋x，（a＋x））与点（b－x，f（b－x））存在关系：，f（a＋x）=f（b－x），由轴对称的定义可知：点（a＋x，f（a＋x））与点（b－x，f（b－x））关于直线成轴对称，又由x的任意性可知：函数y =f（x）关于直线成轴对称。反之亦然。