Question

求大神帮忙解下第二个问题，

Answer 1

已知园C过三点：A₁(-2，0)；A₂(2，0)；A₃(1，√3)；
(1).求园C的标准方程；
(2).过M(-3，0)作直线L与园C交于P、Q两点，点N(1，0)为园内一定点，求∆PQN面积的最大值
解：(1). ∵tan∠A₂A₁A₃=(√3)/3; ∴∠A₂A₁A₃=30°；
tan∠A₁A₂A₁=(√3)/1=√3；∴∠A₁A₂A₁=60°；
因此∆A₁A₂A₃是RT∆；故∣A₁A₂∣=4是园C的直径，原点是园C的圆心；∴园C的标准方程为：
x²+y²=4.............①
(2). 设过M(-3，0)的直线L的方成为：y=k(x+3)；代入①式得：
x²+k²(x+3)²-4=(1+k²)x²+6k²x+9k²-4=0
因为与园C有两个交点，因此其判别式∆=36k^4-4(1+k²)(9k²-4)=-20k²+16>0
即k²<16/20=4/5，故∣k∣<2/√5；即-2/√5<k<2/√5;
设P(x₁，y₁)；Q(x₂，y₂)；则x₁+x₂=-6k²/(1+k²)；x₁x₂=(9k²-4)/(1+k²)；
则∣PQ∣=√{(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=√[(16-20k²)/(1+k²)];【过程略】
点N(1，0)到直线L的距离h=∣k+3k∣/√(1+k²)=∣4k∣/√(1+k²);
故∆PQN的面积S=(1/2)h∣PQ∣=[∣2k∣√(16-20k²)]/(1+k²)=[4∣k∣√(4-5k²)]/(1+k²)；
基于对称性，为简化计算，取k>0计算S的最大值，此时：
S=[4k√(4-5k²)]/(1+k²).............②
令ds/dk=4(4-14k²)/[(1+k²)²√(4-5k²)]=0【求导过程略】
得4-14k²=0；k²=2/7，故k=√(2/7).代入②式即得Smax=24/9.