Question

请教一题，谢谢

请教一题，谢谢求解，谢谢

Answer 1

由题得2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=26
(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=26，因为abc都为整数，a-b，a-c，b-c都为整数
26能拆成三个完全平方式的只有1,9,16或0,1,25（后者不符，舍去）
又因为全等三角形只计算一次
不妨令丨a-b丨=1，丨a-c丨=3，丨b-c丨=4
a-b=±1①，a-c=±3②，b-c=±4③
由②-①得b-c=±3-±1要满足③
所以a-b=1，a-c=-3，b-c=-4——A
或a-b=-1，a-c=3，b-c=4——B
情况A：
将a=b+1，c=b+4
带入a+b+c≤30得
b≤25/3
又因为abc为三角形三边，
∴b＞0，a+b＞c→2b+1＞b+4
综上3＜b≤25/3，∴b=4,5,6,7,8此时三角形三边分别为
4,5,8；；5,6,9；；6,7,10；；7,8,11；；8,9,12
情况B：
将a=b-1，c=b-4
带入a+b+c≤30得
b≤35/3
又因为abc为三角形三边，b-4＞0，a+c＞b→2b-5＞b
综上5＜b≤35/3，∴b=6,7,8,9,10,11此时三角形三边分别为
2,5,6；；3,6,7；；4,7,8；；5,8,9；；6,9,10；；7,10,11
综上满足条件的三角形个数有11个