Question

微分方程可分离变量的条件

如题 写清楚点 我会再加分的

Answer 1

5.可分离变量的微分方程

现在考虑例2.7.1中问题的推广，那里包含着一个方程，其中是未知函数y的导数．一般来说，我们有下述定义．

定义．含有未知函数的导数或微分的等式称为微分方程．如果把某个函数及其导数(或微分)代入微分方程，能使方程成为恒等式，则该函数称为微分方程的解．含有任意常数的解称为微分方程的通解，通解的图像称为积分曲线族；不含任意常数的解称为微分方程的特解，特解的图像称为积分曲线．

例2.7.1.的是微分方程，y=x2+C是其通解，而y=x2+1则是特解．动画中的曲线族是积分曲线族，而y=x2+1的图像则是一条积分曲线．

在这一知识点里我们只介绍最简单的一种微分方程——可分离变量的微分方程．

定义．形如

或 M1(x)M2(y)dx+N1(x)N2(y)dy=0

的微分方程称为可分离变量的微分方程，其中f(x),g(y),M1(x),N1(x),M2(y),N2(y)都是在所考虑的变量范围内的已知连续函数．

可分离变量的微分方程解法为：告桥将含有变量x与y的函数及微分分列等号的两端，然后积分之．即

将方程变形：
=f(x)dx 或
不定积分:
ß ß

或

ß ß
得通解：
F(x,y,C)=0

有初值条件y(x0)=y0时，也可用定积分:

定积分:
或

ß ß
得特解：
F(x,y,x0,y0)=0

注.(1)可分离变量的意义不仅在于变量x与y含在各自的一元函数里，而且必须能被分列在等号的两端．下述方程就不是可分离变量方程:

.

(2)用定积分积分微分方程时，上限x与y，下限x0与y0必须相对应．

例2.7.12求微分方程满足初值条件yêx=0=1的特解．

解.今后我们将此类问题简述成,

分离变量：ydy=xdx

不定积分：ò2ydy=ò2xdx

定积分：
得通解：y2=x2+C或y=±
得：y2-1=x2-0
代入初值：1=

确定常数C：C=1

得特解：y=
得特解： y=

注.(1)从y2=x2+C得y=±，但初值条件yêx=0=1使我们必须取y=．

(2)定积分的积分变量与上限变量未被区分，这是为书写哗友雀简便，但你应做到心中有数．

例2.7.13求微分方程=2xy的通解．

解.分离变量：=2xdx ,

积分： ,

得：ln|y|=x2+C1 ,

即：|y|=.

因C1是任意常数， 也成为任意正的常数 ．又因左端是y的绝对值,我们可得

y=±C

为简化表达式，用一个任意常数（仍记作C）表示±C，于是得原方程的通解

y=C，C为任意常数 .

注.(1)求解过程中，你能注意到C¹0．但实际上当C=0时，y=0，仍为原方程的一个特解．因此通解y=C中的C并不受非零的限制．

(2)从例2.7.13的求解过程,我们看到,有时求解微分方程能预见到通解中任意常数C不受限制乱早，于是积分不必写ln|y|，而直接写lny，同时用lnC来代替C1，这是十分方便的．即解的过程可简化为：

分离变量：=2xdx

积分：lny=x2+lnC