Question

已知三角形ABC的三个内角角A，角B，角C的对边分别为a,b,c,满足a+c=2b且2cos2B-8cosB+5=0.

求角B的大小并判断三角形ABC的形状。

Answer 1

答
2cos2B-8cosB+5=0
4cos²B-2-8cosB+5=0
4cos²B-8cosB+3=0
(2cosB-1)(2cosB-3)=0
cosB=1/2,cosB=3/2 舍去
∴cosB=1/2
∴B=60°
（2）
∵2b=a+c
4b²=a²+c²+2ac
a²+c²=4b²-2ac
cosB=(a²+c²-b²)/2ac
cosB=(3b²-2ac)/2ac=1/2
ac=3b²-2ac
b²=ac
代入4b^2=a²+c²+2ac
4ac=a²+c²+2ac
(a-c)²=0
a=c
2b=a+c
b=a=c
ABC是等边三角形

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Answer 2

2cos2B-8cosB+5
=4(cosB)^2-8cosB+3=0
cosB=1/2(另一根不合舍去)
B=60度
a+c=2b,(a+c)^2=4b^2,b^2=(a+c)^2/4
根据余弦定理:
b^2=a^2+c^2-2accosB=a^2+c^2-ac
(a+c)^2=4a^2+4c^2-4ac
3(a-c)^2=0
a=c
b=(a+c)/2=a=c
三角形ABC的形状为等边三角形