Question

求微分方程特解通解

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Answer 1

(1). 求微分方程 y'+2xy+2x=0满足条件 y(0)=2的特解
解：先求齐次方程 y'+2xy=0的通解：分离变量得 dy/y=-2xdx；积分之得lny=-x²+lnc₁;
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x²)；将c₁换成x的函数u，得y=ue^(-x²)..........①
对①取导数得：y'=u'e^(-x²)-2xue^(-x²).........②
将①②代入原式并化简得：u'e^(-x²)+2x=0；分离变量得：du=-2xe^(x²)dx；
积分之得u=-∫2xe^(x²)dx=-∫d[e^(x²)]=-e^(x²)+c; 代入①式即得原方程的通解：
y=[-e^(x²)+c]e^(-x²)=ce^(-x²)-1；代入初始条件得c=3；故特解为y=3e^(-x²)-1;
(3)。求微分方程 y'-[1/(x+1)]y=(1+x)e^x的通解
解: 先求齐次方程 y'-[1/(x+1)]y=0的通解：dy/y=dx/(1+x)；故lny=ln[c(1+x)，y=c(1+x);
将c换成x的函数u，得y=u(1+x).......①；取导数得 y'=u'(1+x)+u.......②
将①②代入原式并化简得：u'=e^x；故u=e^x；代入①式即得原方程的通解为：y=(1+x)e^x;
【题目太多了，若都给你作，提交时会缩成一堆。其它题作法雷同。】

Answer 2

解:微分方程为y'+2xy+2x=0，化为y'e^x²+2xye^x²=-2xe^x²，(ye^x²)'=-2xe^x²，ye^x²=-e^x²+c，微分方程的通解为y=-1+c/e^x² (c为任意常数)
又∵y(0)=2 ∴有2=-1+c，得:c=3，微分方程的通解为y=-1+3/e^x²
解:微分方程为y'-y/(x+1)=x²+x，y'/(x+1)-y/(x+1)²=x，[y/(x+1)]'=x，y/(x+1)=0.5x²+c，微分方程的通解为y=(0.5x²+c)(x+1) (c为任意常数)
解:微分方程为y'+y=e⁻ˣ，化为y'eˣ+yeˣ=1，(yeˣ)'=1，yeˣ=x+c，微分方程的通解为y=(x+c)e⁻ˣ
解:微分方程为y'-y/(x+1)=eˣ(x+1)，化为y'/(x+1)-y/(x+1)²=eˣ，[y/(x+1)]'=eˣ，y/(x+1)=eˣ+c，微分方程的通解为y=(eˣ+c)(x+1)