Question

从自然数1,2,3,4,…,99,100中,任意取出51个数,求证其中一定有两个...

从自然数1,2,3,4,…,99,100中,任意取出51个数,求证其中一定有两个数,它们中的某一个数是另一个数 的倍数.

Answer 1

设选出的51个数依次是：a1、a2、a3、a4、······、a51.
显然,每一个自然数都能表示成（2^x）y的形式,其中x为自然数,y是奇数.
依次将a1、a2、a3、a4、······、a51都写成这种形式,得这51个数依次是：
（2^x1）y1、（2^x2）y2、（2^x3）y3、（2^x4）y4、······、（2^x51）y51.
在1－100这100个自然数中,只有50个奇数,
∴在y1、y2、y3、y4、······、y51中,一定有两个是相同的.
不失一般性地设y1＝y2,且x1＞x2,则：x1－x2为整数,得：
［（2^x1）y1］÷［（2^x2）y2］＝2^（x1－x2）＝整数,∴（2^x1）y1是（2^x2）y2的倍数.
∴a1是a2的倍数.
∴在1－100这100个自然数中任意取出51个,一定有一个数是另一个数的倍数.