Question

已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=ax(1)判断函数f(x)的奇偶性

(2)当a=2时,使g^2(x)f(x)=4x成立的x的集合

Answer 1

(1)a=0时，f(x)=|x|是偶函数
a≠0时，f(x)≠-f(-x)或f(-x),所以非奇非偶
(2)a=2,那么g^2(x)f(x)=4x即是：
a^2 *x^2f(x)=4x,那么代入a=2得到：
x[xf(x)-1]=0,即x=0，或xf(x)=1
即x|x-2|=1,x>2时，x^2-2x-1=0,x=(2±2根号2)/2=1±根号2,x>2,x=1+根号2
x<2时，-x^2+2x-1=0,x=1符合x<2
x的集合是{0,1,1+根号2}

Answer 2

解：当a=0时，
f(x)=|x|,此时函数显然是偶函数；
当a不等于0，时f(-x)=|x+a|
f(x)不等于f(-x)，且不等于-f(-x)
此时函数为非奇非偶函数
综上，a=0，函数是偶函数；
a不等于0时，函数是非奇非偶函数；
（2）
当a=2时，等式化为（2x）^2|x-2|=4x
当x=0时，显然等式成立；
当x不等于0时，等价于，x|x-2|=1
解得，x=3或1
综上，使等式成立的x的集合为{0,1,3}

Answer 3

解:奇偶性只考量：1、定义域是否关于坐标原点对称；2、是否有关系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)。前一情况出现，函数为偶函数；后一情况出现，函数是奇函数。所以f(-x)=|-x-a|=|x+a|≠f(x)且f(-x）≠-f(x)=-|x-a|,函数f(x)是非奇非偶函数。又因为g(-x)
=a(-x)=-ax=-g(x),所以函数g(x)是奇函数。
又因为当a=2时，g²（x）.f(x)=(ax)²|x-a|=4x²|x-2|=4x,∴x|x-2|=1,即【x(x-2）】²=1即【x(x-2)+1].[x(x-2)-1]=0,解得x=1,x=1-根号2，x=1+根号2。。∴符合题意的解集是{1,1+根号2,1-根号2}。