Question

初三几何

如图,AB是圆O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E且PC²=PE×PO
求证1PC是○O的切线
2若OE比EA=1比2，PA=6求圆O半径
3求SIN∠PCA

Answer 1

（1）连结OC

在△PCE和△POC中，∠P为公共角

又∵PC^2=PE×PO，∴PC:PO=PE:PC

∴△PCE∽△POC

∴∠PEC=∠PCO

又∵CD⊥AB，垂足为点E

∴∠PEC=90°

∴∠PCO=90°，∴PC⊥OC

∴PC是圆O的切线

（2）∵△PCE∽△POC

∴∠PCE=∠POC

那么在Rt△COE和Rt△PCE中，∠COE=∠PCE

∴Rt△COE∽Rt△PCE,∴OE:CE=CE:PE

即CE^2=OE×PE

由OE:EA=1:2，不妨设OE为x，EA为2x，OA=OC=3x，则CE^2=x

又CE^2=OC^2-OE^2=9x^2-x^2=8x^2

则8x^2=x（2x+6）,解得x=1（舍去0）

所以圆O的半径为3

（3）连结BC，由弦切角定理可得，∠PCA=∠ABC

sin∠PCA=sin∠ABC=AC/AB

AC^2=CE^2+AE^2,∴AC=2√3

sin∠PCA=2√3/6=√3/3（3分之√3）