Question

AD 是三角形ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于D，延长DA交三角形ABC的外接圆于点F，连接FB、FC。求

AD 是三角形ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于D，延长DA交三角形ABC的外接圆于点F，连接FB、FC。求证FB=FC

Answer 1

∵∠EAD=∠FAB,(对顶角) ∠FAB=∠FCB(A ,F,B,C共圆)
又∵∠DAC=∠FBC(A ,F,B,C共圆)∵∠EAD=∠DAC (外角平分)
∴∠FCB=∠FBC; 因此 FB=FC

Answer 2

AB为直径，∠AEB=90°=∠ACE，AD是三角形ABC的外角∠EAC的平分线，∠DAE=∠DAC，∠DAC=∠EAB所以三角形ABE∽三角形A DC →∠ABF=∠D，因为∠FCB=∠D+∠DFC，∠DFC =∠ACF，∠ACF=∠ABC（同圆等弦AC）所以∠FCB=∠D+∠DFC=∠ABF+∠ACF=∠ABF+∠ABC=∠FBC→FC=FB

Answer 3

∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC．
∵四边形AFBC内接于圆，
∴∠DAC=∠FBC．
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC．