Question

已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称

求f(0)的值，（2）当0≤X≤1时，f(x)=x ，求x∈R时，函数f（x）的解析式，

Answer 1

1、由于f(x)为奇函数，且定义域为R
，所以有f(x)=
-
f(-x),所以就有f(0)=-f(-0),化简：2f(0)=0,从而得：f(0)=0
2、因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以有f(x)=
-
f(-x)。
因为图像关于直线x=1对称，所以f(x)=
f(2-x)，
所以f(2-x)=-
f(-x)，
用X代换-X，可以得到f(2+x)=-
f(x)，
用2+X代换X所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数
当0≤X≤1时，f(x)=x
，
所以f(x)=x，x∈[-1,1],
再由f(x)的图像关于直线x=1对称，知f(x)=-x+2
x∈[1,3],
且知其周期为4,故得f(x)解析式为：
.
f(x)=x-4n，x∈[4n-1,
4n+1],
n∈Z
f(x)=-(x-4n)+2
x∈(4n+1,4n+3),n∈Z