Question

设数列,满足,且,,,()求的值,使得数列为等比数列;()求数列和的通项公式;(...

设数列,满足,且,,, ()求的值,使得数列为等比数列; ()求数列和的通项公式; ()令数列和的前项和分别为和,求极限的值.

Answer 1

()令,其中为常数,通过为等比数列,则存在使得.推出,,,,然后列出方程组消去解得.然后验证当时,数列为等比数列.即可.()利用()直接求出数列和的通项公式;()令数列的通项公式为,它是公比为的等比数列,令其前项和为;令数列的通项公式为,它是公比为的等比数列,令其前项和为.求出,由于,则,于是,通过,然后求解.
解:满分(分).()令,其中为常数,若为等比数列,则存在使得.又.所以.由此得,,,,(分)由,及已知递推式可求得,,把它们代入上式后得方程组消去解得.
(分)下面验证当时,数列为等比数列.,,从而是公比为的等比数列.同理可知是公比为的等比数列,于是为所求.(分)()由()的结果得,,解得,.(分)()令数列的通项公式为,它是公比为的等比数列,令其前项和为;令数列的通项公式为,它是公比为的等比数列,令其前项和为.由第()问得,..由于数列的公比,则.,由于,则,于是,所以(分)
本小题主要考查数列的概念与性质,等比数列的证明,待定系数法,数列求和与数列极限,考查思维能力,运算能力和综合解题的能力.