Question

求极限：lim(1/n+2^2/n^2+3^2/n^3+...+n^2/n^n) n→∞

Answer 1

楼上那位仁兄错了，无穷个无穷小是0吗？

1/n+2^2/n^2+3^2/n^3+...+n^2/n^n，先看3项之后的
4^2/n^4+5^2/n^5+...+n^2/n^n
<1/n^4*(4^2+5^2+...+n^2)
=1/n^4*[n(n+1)(2n+1)/6-3^2-2^2-1]
所以
0<1/n+2^2/n^2+3^2/n^3+...+n^2/n^n
<(1/n+2^2/n^2+3^2/n^3)+1/n^4*[n(n+1)(2n+1)/6-3^2-2^2-1]

夹逼准则，取极限，左边为0，右边为0
所以极限为0

Answer 2

运用极限运算法则：
原式=n→∞lim1/n+lim2^2/n^2+lim3^2/n^2+...+limn^2/n^n=0+0+...+0=0