Question

在R上可导的函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+2bx+c,当x属于(0,1)时取得极大值，当x属于(1,2)时取得极小值

求点(a,b)对应的区域的面积以及（b-2)/(a-1)的取值范围

Answer 1

先求f（x）导数
f'(x)=x^2+ax+2b
因为在（0，1）取最大值，
所以f'(0)>0 =>b>0
f'(1)<0 => 1+a+2b<0
同理
f'(2)>0 =>4+2a+2b>0 =>a+b>-2
求出根据这三个式子可以求出a，b的范围
对应的面积是1/2
（b-2)/(a-1)的范围为[1/4,1]

Answer 2

解：
f'（x）=x^2＋ax＋2b；由于在（0，1）和（1，2）分别有极大和极小值
所以 f'（x）的零点分别在两个区间中，再用二次函数分析法可得f'（0）>0; f'（1）<0; f'（2）>0
则 b>0 , 1+a+2b<0 , 2+a+b<0 把这个不等式放在一个b-a直角坐标系(a轴相当于x轴,b轴相当于y轴)中,也就是三条直线表示可行域(类似线性规划的做法)
于是原问题改成可行域内点与点(1,2)所构成直线斜率的取值范围
从图上看出斜率最大时为点(-1,0) 得到值最大为1; 斜率最小时为点(-3,1) 得到最小值为1/4
综上,原式取值范围是[1/4,1]