如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD中点，M是
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD中点，M是棱PC上的点，PD=PA=2，BC=12A...
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD中点，M是棱PC上的点，PD=PA=2，BC=12AD=1，CD=3．（1）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；（2）求证：平面PQB⊥底面PAD；（3）（仅理科做）若PM=3MC，求二面角M-BQ-C的大小．
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（1）连接AC，交BQ于N，连接MN． …（1分）
∵BC∥AD且BC=
AD，即BC平行且等于AQ，
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M在是棱PC的中点，
∴MN∥PA．…（2分）
∵MN?平面MQB，PA?平面MQB，…（3分）
∴PA∥平面MBQ． …（4分）
（2）∵AD∥BC，BC=
AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．…（6分）
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，…（7分）
∴BQ⊥平面PAD． …（8分）
∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD． …（9分）
（3）连结BD，∵底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，
∴△BAD是等边三角形，
∴BQ⊥AD由（Ⅰ）PQ⊥平面ABCD．
∴PQ⊥AD．
以Q为坐标原点，QA，QB，QP分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系
则Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，
，0），P（0，0，
）．
设平面BMQ的法向量
=（x，y，z）为，
注意到MN∥PA，∴
∵BC∥AD且BC=
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∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M在是棱PC的中点，
∴MN∥PA．…（2分）
∵MN?平面MQB，PA?平面MQB，…（3分）
∴PA∥平面MBQ． …（4分）
（2）∵AD∥BC，BC=
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∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．…（6分）
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，…（7分）
∴BQ⊥平面PAD． …（8分）
∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD． …（9分）
（3）连结BD，∵底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，
∴△BAD是等边三角形，
∴BQ⊥AD由（Ⅰ）PQ⊥平面ABCD．
∴PQ⊥AD．
以Q为坐标原点，QA，QB，QP分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系
则Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，
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设平面BMQ的法向量
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注意到MN∥PA，∴
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