Question

什么是微分形式不变性?一阶微分形式不变性与链式法则是等价的吗?

Answer 1

微分形式不变性：一阶微分形式不变性，定义为无论u，v是自变量还是中间变量。一阶微分形式不变性与链式法则是等价的。

当u是自变量的时候y=f(u),，dy=f′(u)du，当u是中间变量的时候 y=f(u),u=g(x），y=f[g(x)] ,dy=f′[g(x)]g′(x)dx=f′(u)du仍有dy=f′(u)du，也就是说，不论u是中间变量还是自变量，y=f(u),，则微分总有dy=f′(u)du的形式，这就是微分形式的不变性。

定义

设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）。

那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。