Question

高数求解。

Answer 1

f(x)=xe^(1/x)
则，f'(x)=e^(1/x)+x·e^(1/x)·(-1/x²)
=e^(1/x)·[1-(1/x)]
=[(x-1)/x]·e^(1/x)
当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当0＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＜0时，f'(x)＞0，f(x)单调递增。
f''(x)=e^(1/x)·(-1/x²)·[1-(1/x)]+e^(1/x)·(1/x²)
=e^(1/x)·(1/x³)
当x＞0时，f''(x)＞0，f(x)图像下凹；
当x＜0时，f''(x)＜0，f(x)图像上凸。
lim<x→0+>xe^(1/x)=lim<x→0+>[e^(1/x)]/(1/x)
=lim<x→0+>[e^(1/x)·(-1/x²)]/(-1/x²)
=lim<x→0+>e^(1/x)
=+∞
lim<x→0->xe^(1/x)=0·0=0