Question

高一函数题目求教

已知函数f(x)=2^x＋2^ax＋b.且f(1)=5/2，f(2)=17/4，试判断函数在(-∞，0)上单调性

Answer 1

f(1)=2+2^a+b=5/2
2^a+b=1/2 1
f(2)=4+2^2a+b=17/4
2^2a+b=1/4 2

1-2得
2^a-2^2a=1/2-1/4=1/4
2^2a-2^a+1/4=0
4*2^2a-4*2^a+1=0
(2*2^a-1)^2=0
2*2^a-1=0
2^(a+1)=1
a+1=0
a=-1 3
3代入1得
2^(-1)+b=1/2
b=0
所以
f(x)=2^x+2^(-x)

设0>x1>x2
f(x1)-f(x2)=2^x1-2^(-x1)-[2^x2-2^(-x2)]
=2^x1-2^x2+2^(-x2)-2^(-x1)
因为 x1>x2 指数的2，是增函数，
则2^x1>2^x2 则 2^x1-2^x2>0
x1>x2
-x2>-x1
同理 2^(-x2)-2^(-x1)>0
所以f(x1)-f(x2)>0
所以 f(x1)>f(x2)
所以函数在(-∞，0)上是增函数