Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=[1/4]，an+1=Sn+[t/16]（n∈N*，t为常数）．？

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件推导出a n+1=2a n，n≥2，由此能证明{a n}是等比数列，由 a 2 ＝ S 1 + t 16 ＝ 4+t 16 ，a 1=[1/4]，解得t=4．
（2）由已知条件得 a n+1 ＝ 4+t 16 • 2 n−1 ，n∈N *．数列{b n}是等差数列，b 6＜0且b 7＞0，由此能求出实数t的取值范围．
（1）∵an+1＝Sn+
t
16，①
∴an＝Sn−1+
t
16，②
①-②，得an+1=2an，n≥2，
∵a1=[1/4]，∴{an}为首项是[1/4]，公比为2的等比数列，
∵a2＝S1+
t
16＝
4+t
16，
∴[4+t/4＝2，解得t=4．
（2）a2＝
4+t
16]，an+1=2an，n＞1，
∴an+1＝
4+t
16•2n−1，n∈N*．
∵a2，a3，a4，…，an+1成等比数列，bn=lgan+1，
∴数列{bn}是等差数列，
∵数列{bn}前n项和为Tn，当且仅当n=6时，Tn取最小值，
∴b6＜0且b7＞0…（10分）
解得0＜a7＜1且a8＞1，…
∴0＜8+2t＜1且16+2t＞1，
∴-[15/4]＜t＜-[7/2]…（12分）
,3,已知数列{a n}的前n项和为S n，且a 1=[1/4]，a n+1=S n+[t/16]（n∈N *，t为常数）．
（1）若数列{a n}为等比数列，求t的值；
（2）若t＞-4，b n=lga n+1，数列{b n}前n项和为T n，当且仅当n=6时T n取最小值，求实数t的取值范围．