Question

已知函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞

已知函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）定义域（0，+∞）．
当a=0时，f（x）=xlnx，f'（x）=lnx+1．
令f'（x）=0，得x＝

1

e

．
当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
所以函数f（x）的极小值是f(

1

e

)＝?

1

e

．                
（Ⅱ）由已知得f′(x)＝lnx+

x?a

x

．
因为函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
所以f'（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立．
由f'（x）≥0得lnx+

x?a

x

≥0，即xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立．
设g（x）=xlnx+x，要使“xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立”，只要a≤g（x）_min．
因为g'（x）=lnx+2，令g'（x）=0得x＝

1

e2

．
当x∈(0，

1

e2

)时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；
当x∈(

1

e2

，+∞)时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值是g(

1

e2

)＝?

1

e2

．
故函数f（x）在（0，+∞）是增函数时，实数a的取值范围是(?∞，?

1

e2

]．