Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an+2SnSn-1=0（n≥2，n∈N*），a=12，判断{1Sn}与{an}是否为等差数

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an+2SnSn-1=0（n≥2，n∈N*），a=12，判断{1Sn}与{an}是否为等差数列，并说明你的理由．

Answer 1

∵满足：a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2，n∈N^*），∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，（*）
假设S_n=0，可得S_n-1=0，于是S_n=0对于任意正整数n都成立，而a1＝

1

2

≠0，得出矛盾，故S_n≠0．
∴（*）可化为

1

Sn

?

1

Sn?1

＝2，
∴{

1

Sn

}是以

1

a1

＝2为首项，2为公差的等差数列．
∴

1

Sn

＝2+2(n?1)＝2n，得到Sn＝

1

2n

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1

1

2n

?

1

2(n?1)

=?

1

2n(n?1)

不为等差数列．