Question

数列问题

题目如图
将图片另存为就可以看清楚了

Answer 1

(2)
a_{n+1}=[1+a_{n}]/[1-a_{n}]
a_{n+2}=[1+a_{n+1}]/[1-a_{n+1}]
=[2/(1-a_{n})] / [-2a_{n}/(1-a_{n})]
= - 1/a_{n}
a_{n+3}=[1+a_{n+2}]/[1-a_{n+2}]
= [1-1/a_{n}] / [1+1/a_{n}]
= [a_{n}-1]/[a_{n}+1]
= - 1/a_{n+1}

a_{n+4}= [1+a_{n+3}]/[1-a_{n+3}]
= [2a_{n}/(a_{n}+1) ] / [2/ (a_{n}+1)]
= a_{n}

所以数列是周期性的

(3)考虑一个周期 a1, a2, a3, a4
a1=a, a2= (1+a)/(1-a), a3= - 1/a, a4= (a-1)/(a+1)
一个周期中sum=a1+a2+a3+a4
2008项总和为S= 502* sum
若要 S=2008, sum=4
(a^2-1)/a - 4a/(a^2-1) = 4
设 x = (a^2-1)/a, 则 x>0 (因为 a>1)
解方程 x-4/x=4, 得
x= 2+2*sqrt(2)
所以
a^2-1=[2+2*sqrt(2)]*a
设 f(a)= a^2-[2+2*sqrt(2)]*a-1
f(1)<0
f(4)>0
所以存在 一个 a 在范围 1<a<4. 使得 S_{2008}=2008