变上限积分函数上限为x^3下限为1怎么算

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摘要对于积分函数 f(x)f(x)，在 [a,b][a,b] 区间内的定积分可以通过以下公式求解：\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = F(b) - F(a)∫ab f(x)dx=F(b)−F(a)其中，F(x)F(x) 是 f(x)f(x) 的不定积分。因此，对于题目给出的 f(x) = x^2f(x)=x2 ，我们可以先求出其不定积分。\int x^2\mathrm{d}x = \frac{1}{3}x^3 + C∫x2 dx=31 x3 +C其中，CC 是常数。由于这里需要求的是定积分，我们可以将 CC 置为 00，得到：\int_1^x t^2\mathrm{d}t = \left.\frac{1}{3}t^3\right|_1^x = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}∫1x t2 dt=31 t3 ∣∣∣∣ 1x =31 x3 −31 因此，将上限 xx 替换为 x^3x3 ，下限 11 不变，即可得到：\int_1^{x^3} t^2\mathrm{d}t = \left.\frac{1}{3}t^3\right|_1^{x^3} = \frac{1}{3}(x^9-1)∫1x3 t2 dt=31 t3 ∣∣∣∣ 1x3 =31 (x9 −1)

咨询记录 · 回答于2023-03-13

变上限积分函数上限为x^3下限为1怎么算

对于积分函数 f(x)f(x)，在 [a,b][a,b] 区间内的定积分可以通过以下公式求解：\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = F(b) - F(a)∫ab f(x)dx=F(b)−F(a)其中，F(x)F(x) 是 f(x)f(x) 的不定积分。因此，对于题目给出的 f(x) = x^2f(x)=x2 ，我们可以先求出其不定积分。\int x^2\mathrm{d}x = \frac{1}{3}x^3 + C∫x2 dx=31 x3 +C其中，CC 是常数。由于这里需要求的是定积分，我们可以将 CC 置为 00，得到：\int_1^x t^2\mathrm{d}t = \left.\frac{1}{3}t^3\right|_1^x = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}∫1x t2 dt=31 t3 ∣∣∣∣ 1x =31 x3 −31 因此，将上限 xx 替换为 x^3x3 ，下限 11 不变，即可得到：\int_1^{x^3} t^2\mathrm{d}t = \left.\frac{1}{3}t^3\right|_1^{x^3} = \frac{1}{3}(x^9-1)∫1x3 t2 dt=31 t3 ∣∣∣∣ 1x3 =31 (x9 −1)

不好意思，麻烦再讲详细些呢？

因此，积分函数 \int_1^{x^3} t^2\mathrm{d}t∫1x3 t2 dt 的下限为 11，上限为 x^3x3 ，结果为 \frac{1}{3}(x^9-1)31 (x9 −1)。

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