Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，CA=4，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，点E是线段AB上的一点，以BE

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，CA=4，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，点E是线段AB上的一点，以BE为直径的圆O过点D．（1）求证：AC是圆O的切线；（2）求AE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD； ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD=∠CBD，即∠ODB=∠CBD， ∴OD ∥ BC， ∵BC⊥AC， ∴OD⊥AC； 又∵点D在⊙O上， ∴AC是⊙O的切线． （2）Rt△ABC中，AC=4，BC=3，则AB=5； 在Rt△AOD中，设AD=4x，则OD=3x，OA=5x； ∵OE=OD=3x， ∴AE=OA-OE=2x， 由于AB=AE+BE=2x+6x=5，故x= 5 8 ， ∴AE=2x= 5 4 ．