Question

已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为 .直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M

已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为 .直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为 时，求k的值．





Answer 1

（1） ＝1（2）k＝±1.

(1)由题意得 解得b＝ ，所以椭圆C的方程为 ＝1. (2)由 得(1＋2k 2 )x 2 －4k 2 x＋2k 2 －4＝0.设点M，N的坐标分别为(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )， 则y 1 ＝k(x 1 －1)，y 2 ＝k(x 2 －1)，x 1 ＋x 2 ＝ ，x 1 x 2 ＝ ， 所以MN＝ ＝ . 又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝ ，所以△AMN的面积为S＝ MN·d＝ .由 ＝ ，解得k＝±1.