Question

如图，O是已知线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB

如图，O是已知线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB的垂线与AD的延长线交于点E；（1）求证：AE切⊙O于点D；（2）若AC=2，且AC、AD的长是关于x的方程 x 2 -kx+4 5 =0 的两根，求线段EB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD． ∵AO为半圆直径，∴∠ADO=90°． ∴AE切⊙O于点D； （2）∵AC、AD的长是关于x的方程 x 2 -kx+4 5 =0 的两根， ∴AC?AD=4 5 ； ∵AC=2， ∴AD=2 5 ． 设OD=OC=x，则（x+2） 2 =（2 5 ） 2 +x 2 ． 解得x=4． ∴AB=2+8=10． ∵∠ADO=∠ABE=90°，∠A=∠A， ∴△AOD ∽ △AEB， ∴ OD BE = AD AB ，即 4 BE = 2 5 10 ， ∴BE=4 5 ．