Question

设f(x)是定义在R上的奇函数,在(负无穷,0)上有xf'(x)+f(x)<0且f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为

Answer 1

设g(x)= xf (x),
∵g ' (x) = [xf (x)] '= x 'f (x)+ xf ' (x) =f(x) + xf ' (x) <0
∴在(-∞,0)上g(x)是减函数。
f(x)是定义在R上的奇函数,则g(x) = xf (x)是R上的偶函数。
所以在(0，+∞)上g(x)是增函数。
f(-2)=0,则f(2)=0。所以g(2)=0.显然g(0)=0f(0)=0.
xf(x)<0可化为：g(x) <0，
对于偶函数g(x)来说，有g(-x) =g(x)= g(|x|)，
所以不等式又可以化为：g(|x|) < g(2)
而在(0，+∞)上g(x)是增函数，
∴|x|< 2，且x≠0，
-2<x<2， 且x≠0。
不等式解集为{x|-2<x<2且x≠0}.

Answer 2

let
g(x) = xf(x)
g(-x) = -xf(-x)
= xf(x) = g(x)
=> g is even

g(x) = xf(x)
g'(x) = xf'(x) + f(x) < 0
=> g is decreasing on （-∞,0)

g(-2) = -2f(-2)
= 0

xf(x) <0
g(x) < 0
g(x) < g(-2)
-2 < x < 0 for x<0

for x> 0
g(x) is even function
g(x) = g(-x)
0< x < 2 is also solution

不等式xf(x)<0的解集
-2 < x < 0 or 0< x < 2