Question

如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．（1）求证：AC=CD；（2）如果OD=1，

如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．（1）求证：AC=CD；（2）如果OD=1，tan∠OCA=52，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵直线AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
即∠OAB+∠DAC=90°，
∵OC⊥OB，
∴∠B+∠ODB=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠DAB，
∵∠ODB=∠ADC，
∴∠ADC=∠DAC，
∴AC=CD；

（2）解：在Rt△OAC中，∠OAC=90°，
∵tan∠OCA=

5

2

，
∴

OA

AC

＝

5

2

，
∴设AC=2x，则AO=

5

x，
由勾股定理得：OC=3x，
∵AC=CD，
∴AC=CD=2x，
∵OD=1，
∴OC=2x+1，
∴2x+1=3x，
解得：x=1，
∴AC=2．