Question

已知函数f（x）=x3-ax2-3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=-13是f

已知函数f（x）=x3-ax2-3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=-13是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．

Answer 1

（1）求导函数，可得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立
∴3x²-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立
∴

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0
∴a≤0
（2）∵x=-

1

3

是f（x）的极值点，∴f′(?

1

3

)＝0
∴

1

3

+

2a

3

?3＝0
∴a=4
∴f（x）=x³-4x²-3x，f′（x）=3x²-8x-3，∴x₁=-

1

3

，x₂=3
令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；
∴x=3时，函数取得最小值-18
∵f（1）=-6，f（4）=-12
∴f（x）在[1，4]上的最大值为-6．