Question

已知数列{an}的首项为a1=4，前n项和为Sn，Sn+1-3Sn-2n-4=0（Ⅰ）求证：{an+1}为等比数列，并求数列{an}的

已知数列{an}的首项为a1=4，前n项和为Sn，Sn+1-3Sn-2n-4=0（Ⅰ）求证：{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=15（an+1）+n（n∈N*）求数列{bn}前n项的和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）证明：n≥2时，由S_n+1-3S_n-2n-4=0，得S_n-3S_n-1-2n-2=0，
两式相减，得a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1）（n≥2）成立，…3 分
又已知a₁=4，a₂=14，∴a₂+1=3（a₁+1）…（4分）
∴{a_n+1}是以5为首项，3为公比的等比数列．…（5分）
∴an＝5×3n?1?1(n∈N*)．…（6分）
（Ⅱ）解：∵b_n=

1

5

（a_n+1）+n（n∈N^*），
∴bn＝3n?1+n(n∈N*)，…（7分）
则Tn＝(30+31+…+3n?1)+(1+2+…+n)…（8分）
∴T_n=

1

2

(3n?1)+

n(n+1)

2

．…（12分）