Question

已知函数f（x）=alnx+bx2在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0（Ⅰ）（ⅰ）求f（x）的表达式；（ⅱ）

已知函数f（x）=alnx+bx2在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0（Ⅰ）（ⅰ）求f（x）的表达式；（ⅱ）对于函数y=ex，曲线y=ex在与坐标轴交点处的切线方程为y=x+1，由于曲线y=ex在切线y=x+1的上方，故有不等式ex≥x+1．类比上述推理，对于函数f（x），直接写出一个相类似的结论（不需证明）．（ II）若f（x）满足f（x）≥g（x）恒成立，则称f（x）是g（x）的一个“上界函数”，如果函数f（x）为g（x）=tx-lnx（t∈R）的一个“上界函数”，求t的取值范围；（Ⅲ）当m＞0时，讨论F（x）=f（x）+x22?m2+1mx在区间（0，2）上极值点的个数．

Answer 1

（ I）（ⅰ）因为f′(x)＝

a

x

+2bx，且切点为（1，b），所以切线方程为y=（a+2b）（x-1）+b，
因为切线为y=x-1，所以a=1，b=0，∴f（x）=lnx…（3分）
（ⅱ）对于函数f（x）=lnx，有不等式lnx≤x-1成立．…（6分）
（ II）因为f（x）≥g（x）恒成立即2lnx?

t

x

≥0恒成立，所以 t≤2xlnx恒成立
令h（x）=2xlnx，∴h′（x）=2lnx+2函数递减区间为(0，

1

e

)，递增区间为(

1

e

，+∞)
所以h(x)min＝h(

1

e

)＝?

2

e

，纳租薯故t≤?

2

e

…（10分）
（Ⅲ）F′(x)＝

1

x

+x?

m2+1

m

＝

mx2?(m2+1)x+m

mx

＝

(mx?1)(x?m)

mx

当

1

2

＜m＜洞者1或1＜m＜2时，F（x）在（0，2）上有一个极大值点和一个极小值点…（12分）
当0＜型闭m≤

1

2

或m≥2时，F（x）在（0，2）上有一个极大值点，无极小值点…（14分）