已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点．（Ⅰ）
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1；（Ⅱ）...
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1；（Ⅱ）试求线段MN与平面ABC所成角的余弦值．
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解答：
解：（空间向量）依条件可知AB，AC，AA1两两垂直．如图，
以点A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．
依条件可知AB，AC，AA1两两垂直．
如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．
根据条件容易求出如下各点坐标：A（0，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1（-1，0，2），M（0，1，2），N(?
，1，0)．
（Ⅰ）因为
＝(0，2，0)，
＝(?1，0，2)，
因为
＝(?
，0，?2)，
＝(0，2，0)，所以
?
=?
×0+0×2?2×0＝0，
从而
⊥
．
又因为
＝(0，2，0)是平面ACC1A1的一个法向量，且MN?平面ACC1A1，
所以MN∥平面ACC1A1．
（Ⅱ）
＝(?1，?2，0)，
＝(0，2，0)设平面ABC的法向量是
＝(x，y，z)
由
?
＝0，
?
＝0，知法向量可以是
＝(0，0，1)，它与向量
＝(?
，0，?2)的夹角满足：cosθ＝
解：（空间向量）依条件可知AB，AC，AA1两两垂直．如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．
依条件可知AB，AC，AA1两两垂直．
如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．
根据条件容易求出如下各点坐标：A（0，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1（-1，0，2），M（0，1，2），N(?
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）因为
| AB |
| AC1 |
因为
| MN |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| MN |
| AB |
| 1 |
| 2 |
从而
| MN |
| AB |
又因为
| AB |
所以MN∥平面ACC1A1．
（Ⅱ）
| BC |
| AB |
| n |
由
| n |
| BC |
| n |
| AB |
| n |
| MN |
| 1 |
| 2 |
| ||||
|
|
