Question

如图所示，等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长为5cm一动点P在底边上从B向C以0.25cm

如图所示，等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长为5cm一动点P在底边上从B向C以0.25cm每秒的速度移动，当P运动几秒时，P与顶点A的连线PA与腰垂直？
（分两种情况并且都是用设元的方法写出来）谢啦。

Answer 1

解：设点P移动t秒时，AP与腰垂直，
作底边BC上的高AD，
由题意可知：BD=CD=4cm，AD=3cm，
(1) 当点P在线段BD上时，PD=4-0.25t，PC=8-0.25t
PA^2=3^2+(4-0.25t)^2
当PA垂直直于AC时，PA^2=PC^2-AC^2
所以 3^2+(4-0.25t)^2=(8-0.25t)^2-5^2
解此关于t的方程得：t=7
(2) 当点P在线段DC上时，PD=0.25t-4，PB=0.25t
PA^2=3^2+(0.25t-4)^2
当PA垂直直于AB时，PA^2=PB^2-AB^2
所以 3^2+(0.25t-4)^2=(0.25t)^2-5^2
解此关于t的方程得：t=25
综上所述：可知当P运动7秒或25秒时，P与顶点A的连线PA与腰垂直？

Answer 2

解：假设运动t秒时候，P与顶点A的连线PA与腰垂直

1。首先讨论与AC腰垂直的情况，此时P点记做点P
根据假设 BP=0.25t
∵D为BC中点，
∴BD=CD=1/2BC=4
∴PD=4-0.25t
PC=8-0.25t

在△ACD中 ，AD⊥DC
∴AD^2+DC^2=AC^2
∴AD=3
在△APC中，PA⊥AC
∴PA^2+AC^2=PC^2
在△APD中，AD⊥PC
∴PD^2+AD^2=AP^2
根据上面两个式子
PC^2-AC^2=AD^2+PD^2
(8-0.25t)^2-25=9+(4-0.25t)^2
得到 t=7

2。再讨论AP垂直与AB腰的情况
这时P点记做P′

同样可以得到 BP′=0.25t
DP′=0.25t-4

同样有
AB^2+AP′^2=BP′^2
AP′^2=AD^2+DP′^2

BP′^2-AB^2=AD^2+DP′^2

（0.25t）^2-25=9+(0.25t-4)^2

解得 t=25

则，当P运动7秒和25秒时，P与顶点A的连线PA与腰垂直