Question

解个绝对值不等式

不等式：x|x-a|-2<|x-2|
a=1

Answer 1

解：x|x-1|-2<|x-2|
则x|x-1|<|x-2|+2
当x<=0时，x|x-1|<=0,而|x-2|+2>2
即x|x-1|<|x-2|+2成立，所以x<=0可取
当0<x<=1时,则不等式可化简为x（1－x）-2<（2－x）
即（x－1）^2+3>0恒成立，所以0<x<=1可取
当1<x<=2时，x（x－1）-2<（2－x）
即x^2<4,解得－2<x<2，所以取1<x<2
当x>2时，x（x－1）-2<（x－2）
即x（x－2）<0,解得0<x<2，与x>2不符，不可取

综上所述，x<2

Answer 2

当x≥2时
x(x-1)-2<x-2
x2-x-2<x-2
x2-2x<0
(x-1)2<1
-1<x-1<1
0<x<2
所以x≥2无解

当1≤x<2时
x(x-1)-2<2-x
x2<4
-2<x<2
所以当1≤x<2时
1≤x<2满足题意
当x<1时
-x2+x-2<2-x
整理得
x2-2x+4>0
不等式恒成立，所以x<1满足题意
综合上述可知不等式的解为x<2