Question

奥数题及答案

A是由2002个4组成的多位数，即444....4，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B，如果不是，请说明理由。

Answer 1

这个题要用到等比数列的求和公式。

假设A是某个自然数B的平方。
A=444...4
=4(10^2001+10^2000+...+1)
=4(10^2002-1)/(10-1)
=(4/9)(10^2002-1)
=B^2
4(10^2002-1)=9B^2
4×10^2002-9B^2=4
(2×10^1001+3B)(2×10^1001-3B)=4
由于2×10^1001,B均为自然数，因此等式左边为两自然数的乘积，等式右边同样为自然数。
4=1×4 (注意：不能分解成4=2×2)
2×10^1001+3B=4
2×10^1001-3B=1
解得B无自然数解，因此假设错误。A不是某个自然数B的平方。

Answer 2

不是某数的平方
因为2002个4可以=2002个1*4
4 = 2^2
2002个1要是某个数的平方，那么这个数的个位数只能是1或者9
当是1时，不妨令最后两位为 A1
则得出十位数字是2A = 1 + 10K A不得整数，舍去
当是9时，令最后两位为 A9
得出十位数字是 18A+8 = 1 + 10k A得不出整数，舍去
所以不是某数的平方