几道大学微积分题目

用拉格朗日中值定理求证:1,ex≤e^x2,x≤tanx(0≤x≤π/2)用罗必塔法则求极限:lim(x→0)[1/e(1+x)^1/x]^1/x... 用拉格朗日中值定理求证:
1,ex≤e^x
2,x≤tanx(0≤x≤π/2)
用罗必塔法则求极限:
lim(x→0)[1/e(1+x)^1/x]^1/x
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鞠然腾蕴美
2019-05-22 · TA获得超过3978个赞
知道大有可为答主
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我基本不给答案,给点想法,答案还得您自己来写。
有些题故意没有按你要求的写得特详细,要不然你自己不琢磨,就更看不懂了。
另外,楼上,不愿意回答为什么不绕行?非要跑上来抱怨几句?
1、把x换成-1/x,那么-1/x就换成了-1/(-1/x)=x,也就是
af(-1/x)+bf(x)=-sin(1/x),
跟原来那个方程放一起,由a+b≠0,就可以求出f(x)+f(-1/x),再由a≠b就能求出f(x)。
2、我就用a和b了,希腊字母打着费劲。首先b不是0。假如b是负的(正的那种情况大体上类似,结果一样),那么
(x+1)^b-x^b=(x^(-b)-(x+1)^(-b))
/
(x^(-b)(x+1)^(-b))
大约是bx^(-b-1)/x^(2b)=bx^(b-1)量级的,
那么现在,x^a/(bx^(b-1))趋于8,所以必须b=1/8并且a=b。
3、这个你让t=e^x,那么1/t=e^(-x),解个二次方程t^2-2yt-1=0,然后在代进x=lnt。
4、这个当然不存在。两个子列有不同的极限了。反之假如这个极限存在,是C的话,你可以证明它的任何子列(比如x(n)和y(n))的极限都是C,那么A=C=B就矛盾了。
5、x=1是可去间断点(第一类),可以直接用l'Hospital法则求个极限;
x趋于0或者2的时候f趋于正无穷,是个极点(第几类的你就自己看一下定义好了)。
其余点上分子、分母都有定义,所以不是间断点。
6、这个没有极限。你可以直接证明它在x趋于0的时候,和|x|/x是等价的;或者你可以更直接地证明,它的右极限是1,左极限是-1,所以没有极限。
百度网友3ef878d38
2010-11-26 · 超过30用户采纳过TA的回答
知道答主
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1.当x《0时,显然有ex≤e^x
当x>0时,要证ex≤e^x,只要证e^x/x-e》0,构造f(x)=e^x/x,所以f(1)=e
所有由拉格朗日中值定理,当x>1时,f(x)-f(1)=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于【1,x],显然
f(x)>f(1)
当x=1,f(x)=f(1)
当1>x>0时,f(x)-f(1)=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于[0,1],所以f(x)>f(1)
综合上述,e^x/x-e》0,即ex≤e^x
2,构造f(x)=tanx,f(0)=0,f(x)-f(0)=1/(cosa)^2(x-0),其中a属于【0,π/2】,显然f(x)-f(0)》x,所以x≤tanx
3。lim(x→0)[1/e(1+x)^1/x]^1/x
=lim(x→0)e^{ln{1/e(1+x)^1/x}/1/x}
= lim e^{(1/x)ln(1+x)-1}/x
=lime^{ln(1+x)-x}/x^2(前面几步,恒等变形)
=lime^{1/(1+x)-1}/2x(罗必塔法)
=lime^-x/2x
=e^-1/2
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