Question

如图，正方形ABCD中，E为AC上一点，F为CD上一点，ED=EF

如图，正方形ABCD中，E为AC上一点，F为CD上一点，ED=EF，【主要证第一问就行了】
求证（1）DF=根号2AE；
（2）BF=根号二EF；
（3）CB+CF=根号二CE

Answer 1

1. 过E作EM垂直于DF，EN垂直于AD。由于ED=EF,也就是三角形EFD等腰，M点就是DF的中点。DMEN是个长方形，DM=NE,而三角形AEN是等腰直角三角形，如果AE=x，那么NE=x/根号2，DF=2DM=根号2x

2. BF²=FC²+CB² = (a-根号2x)²+a² = 2a²-2根号2ax+2x²

   EF²=EM²+MF² = (a-x/根号2)²+(x/根号2)² = a²-根号2ax+x²

   所以BF²=2EF², BF=根号2EF

   其实从角度看，如∠NED=α，则∠DEC=135-α，∠DEM=∠MEF=90-α，正方形的话AC是∠DCB的角平分线，ED=EB=EF,∠DEC=∠CEB,∠MEC=45，所以∠FEC=45-(90-α)=α-45，所以∠FEB=(135-α)+(α-45)=90，所以△EFB是等腰直角三角形，BF=根号2EF

3. CB+CF=a+(a-根号2x)=2a-根号2x

   CE=根号2a-x

   所以CB+CF=根号2CE