Question

定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+1)=-f(x),且在区间【-1，0】上递增，则 （）

A.f(3)＜f(√2)＜f(2) B.f(2)＜f(3)＜f(√2) C.f(3)＜f(2)＜f(√2) D.f(√2)＜f(2)＜f(3) ，我自己有做但不明白哪错了，求大神赐教！！ f(3)=f(2+1)=-f(2) f(2)=f(1+1)=-f(1) 所以f(3)=f(1) f(√2）=f(0.414+1)=-f(0.414) 然后我就得出了答案D,然后错了。
我是不明白我哪错了，大神不是求解！！！我已经误导了我们班3个孩儿了。

Answer 1

f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=-(-f(x))=f(x), 所以周期为2，又已知在[-1，0]上递增，是偶函数，所以在[0，1]上递减，把区间[-1,0]右移2个单位，所以在[1,2]上是递增，
f(3)=f(2+1)=f(1), 1<√2<2, 所以f(1)<f(√2) <f(2), 所以f(3)<f(√2) <f(2) 选 A

你在解这题时，得出了f(3)=f(1),这是对的，但后来也没有用过，
对自变量1，√2，2 这三个数的大小关系是很明白的，但没有把函数f(x)在区间[1，2]上的单调性分析清楚，你也没有用到有关的已知条件“偶函数”
，把√2，2 ，3这三个数比较，也不知为何就认为它们所在的是递增区间，所以得出错误的结论

Answer 2

f(x+1)=-f(x) f(x+2)=-f(x+1) 则f(x)=f(x+2) f(x)是周期函数，周期为2。f(3),f(2),f(根号2)的关系与f(1),f(0),f(根号2-2)的关系相同。又f(x)在[-1,0]递增，原函数为偶函数f(根号2-2)=f(2-根号2)，易知f(1)<f(2-根号2)<f(0)，则f(3)<f(根号2)<f(2)

你的计算过程并没有推导出题目要求的结论
你的计算过程中的f(3)=-f(2)并不能说明f(3)>f(2)，因为f(2)的正负未知。

Answer 3

前面计算没错，可能最后判断出问题了
定义在R上的偶函数f(x）所以在【0，1】递减
f(0)=f(2) , f(3)=f(1), f(√2）=f(0.414+1)=-f(0.414)
f(0.414)无论正负都会在f(0)，f(1)之间的,
0<0.414<1
所以A.f(3)＜f(√2)＜f(2)
正确解法如下：
f(x+1)=-f(x),
f(x+1+1)=-f(x+1),
f(x+2)=f(x)
在【-1，0】上递增
所以在【-1，2】上递增
f(3)=f(1)
又1<√2<2
所以有A.f(3)＜f(√2)＜f(2)